位置主页 > 专利最强 >实数的运算性质(Properties of the Real

实数的运算性质(Properties of the Real

作者 时间:2020-07-03 阅读次数:383


虽然实数(无理数那一部份)的本质与有理数不同,不能直接回溯至具体的自然数运算,但人们凭着直觉如同有理数般使用实数几百年之后,才在十九世纪有人发现这些运算规则是需要证明的;幸好,它们也都被证明是正确的了。在此我们并不举出那些证明,而因循前人的直觉,直接将有理数的运算性质移植到实数上。因为实数继承有理数的运算规则,有理数继承自然数的运算规则,所以,实数运算规则的根本理由,就是自然数运算规则。

以下,我们令 $$x$$、$$y$$、$$z$$ 都代表实数;除非在项目中特别声明它们的关係,否则都是任意的实数。整理了每一项的实数运算性质之后,我们略加阐述它的用途。因为关于有理数的範例在另一篇已经列举过,所以此篇以无理数为主。

实数的加法结合律:$$(x+y)+z=x+(y+z)$$实数的加法交换律:$$x+y=y+x$$
结合律和交换律使我们可以做习惯性的同类项整理,
例如  $$\sqrt{3}+3+\sqrt{2}+2=(2+3)+\sqrt{3}+\sqrt{2}=5+\sqrt{2}+\sqrt{3}$$实数的加减互逆:如果 $$x+y=z$$,则 $$x=z-y$$
它的逆命题也成立,因为只要将 $$y$$ 置换成 $$-y$$ 就是说如果 $$x-y=z$$,则
$$x=z-(-y)=z+y$$实数的乘法结合律:$$(xy)z=x(yz)$$实数的乘法交换律:$$xy=yx$$
例如 $$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{3}\sqrt{2}$$。交换律和结合律使我们能够推论 $$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$$。
理由是 $$(\sqrt{2}\sqrt{3})^2=(\sqrt{2}\sqrt{3})(\sqrt{2}\sqrt{3})$$,
需要结合律等于 $$\sqrt{2}(\sqrt{3}\sqrt{2})\sqrt{3}$$,
再依据交换律等于 $$\sqrt{2}(\sqrt{2}\sqrt{3})\sqrt{3}$$,
然后用结合律等于 $$(\sqrt{2}\sqrt{2})(\sqrt{3}\sqrt{3})=(\sqrt{2})^2(\sqrt{3})^2=2\times 3=6$$;
因为 $$(\sqrt{2}\sqrt{3})^2=6$$,所以 $$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{3}\sqrt{2}$$。实数乘法对加法的分配律:$$x(yz)=xy+xz$$
使我们可以做习惯性的同类项整理,例如 $$\begin{array}{ll}(1+\sqrt{2})^2&=(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2})\\&=1+\sqrt{2}+\sqrt{2}+2=3+(1+1)\sqrt{2}=3+2\sqrt{2}\end{array}$$实数的乘除互逆:如果 $$y\ne 0$$ 且 $$\displaystyle\frac{x}{y}=z$$,则 $$x=yz$$
可以用来推论繁分式的计算规则。例如 $$\frac{x}{\frac{1}{y}}=z$$,则 $$x=z(\frac{1}{y})=\frac{z}{y}$$,所以 $$xy=z$$;也就是说 $$\frac{x}{\frac{1}{y}}=xy$$。乘除互逆的逆命题也成立,因为只要将 $$y$$ 置换成 $$\frac{1}{y}$$,经过繁分式化简,就是说如果 $$xy=z$$,则 $$x=\frac{z}{y}$$。

实数跟自然数一样符合等量公理,而等量公理就是移项和交叉相乘的原理。等量公理是说…

等量加等量,其值相等:如果 $$x=y$$,则 $$x+z=y+z$$等量乘以等量,其值相等:如果 $$x=y$$,则 $$xz=yz$$

对于实数,我们不再列举减法和除法的等量公理。因为 $$x-y=x-(-y)$$,当 $$z\ne 0$$,则 $$\frac{x}{z}=x(\frac{1}{z})$$,所以加法和乘法的等量公理包含了减法和除法的。

向前连结:实数,有理数运算性质
向后连结:实数运算性质

相关的推荐阅读
最新信息
热门文章
热门问答